Digitalna Obrada Signala - Z transformacija ispitni zadatak

Diskretni sistem je zadat sledećom diferencijalnom jednačinom
y(n) = 0.6x(n) + 0.3x(n-1) - 0.2y(n-2) + 0.7x(n-3)
a) Primenom Z transformacije odrediti prenosnu funkciju sistema H(z)
b) Da li je zadati sistem rekurzivan ?
c) Da li je sistem stabilan ?
d) Da li je sistem klauzalan ?
e) Napisati u matlabu kod za crtanje polova i nula u kompleksnoj ravni Z

a) Prvo se prebaci y na jednu a x na drugu stranu jednakosti

y(n) + 0.2y(n-2) = 0.6x(n) + 0.3x(n-1) + 0.7x(n-3)

Potom se primenjuje Z transformacija na sledeći način

umesto y(n) piše se Y(z)Z ⁰ ili samo Y(z)
umesto y(n-1) piše se Y(z)Z ^-1
umesto y(n-2) piše se Y(z)Z ^-2
umesto y(n+1) piše se Y(z)Z ¹
umesto y(n+2) piše se Y(z)Z ²
i tako dalje.
Isto vaŽi i za x
umesto x(n) piše se X(z)Z ⁰ ili samo X(z)
umesto x(n-1) piše se X(z)Z ^-1
umesto x(n-2) piše se X(z)Z ^-2
umesto x(n+1) piše se X(z)Z ¹
umesto x(n+2) piše se X(z)Z ²
i tako dalje.
Koeficijenti se samo prepisuju

Primenom Z transformacije dobijamo sledeću jednačinu.

Y(z) + 0.2Y(z)Z ^-2 = 0.6X(z) + 0.3X(z)Z ^-1 + 0.7X(z)Z ^-3

Potom izvlačimo Y(z) sa jedne i X(z) sa druge strane ispred zagrade

Y(z) ( 1 + 0.2Z ^-2 ) = X(z) ( 0.6 + 0.3Z ^-1 + 0.7Z ^-3 )

Prenosna funkcija po definiciji je H(z) = Y(z) / X(z), dalje sledi

H(z) = ( 0.6 + 0.3Z ^-1 + 0.7Z ^-3 ) / (1 + 0.2 Z ^-2 )

U ovom slučaju množimo funkciju sa Z ³/ Z ³ kako bi smo u funkciji dobili samo Z-ove sa pozitivnim stepenom. Dobijamo

H(z) = ( 0.6Z ³ + 0.2Z ² + 0.7 ) / ( Z ³ + 0.2 Z )

Prenosna funkcija je dobijena, a iz nje se može zaključiti da je upitanju sistem IIR tipa jer u imeniocu funkcije ima polinom Z. Da kojim slučajem H(z) funkcija ima samo konstante u imeniocu sistem bi bio FIR tipa !

b) Da li je zadati sistem rekurzivan ?

Ukoliko je sistem IIR tipa (kao ovaj slučaj), sistem je uvek rekurzivan, za razliku od FIR tipa koji je uvek nerekurzivan.

Odgovor: Sistem je rekurzivan.

c) Da li je sistem stabilan ?
FIR sistem je uvek stabilan, za razliku od IIR. Pošto je ovaj primer IIR tipa mora se dodatno ispitati stabilnost sistema.

Brojilac prenosne funkcije prestavljaju nule sistema, tačnije nule brojilaca predstavljaju nule sistema, a nule imenioca predstavljaju polove sistema.
Stabilnost se ispituje tako što svi polovi moraju biti unutar jediničnog kruga. Tražimo polove tako što imenilac izjednačimo sa 0.

Z ³ + 0.2Z = 0
Z( Z ² + 0.2 ) = 0
Z = 0 ili Z ² + 0.2 = 0
Z = 0 ili Z ² = -0.2 - nerealno
Z = 0

Imamo jedno rešenje Z = 0. Ukoliko je |Z_n| < = 1 Sistem je stabilan u suprotonom sistem nije stabilan.
Da imamo Z₁, Z₂ i Z₃ morali bi da gledamo svako Z po apsolutnoj vrednosti da li je manje ili jednako od 1.
Dovoljno je da samo jedan Z bude veći od 1 i da sistem bude nestabilan !

Odgovor: Sistem je stabilan

d) Da li je sistem klauzalan ?

Sistem je klauzalan ako ne postoji izlaz pre pobude. Dakle ukoliko na ulazu ( x je ulaz ) nema neko x koje prednjači
( x + konstanta )sistem je klauzalan.

Kod nas, na ulazu ne postoji signal koji prednjači
( čitaj nema x + neki broj ) tako da je sistem klauzalan.

Odgovor: Sistem je klauzalan

e) Napisati u matlabu kod za crtanje polova i nula u kompleksnoj ravni Z

U matlabu postoji gotova funkcija za to čija je sintaksa zplane(z,p) gde su z nule, a p polovi sistema.
Mora se voditi računa pri pravljenju vektora. Unose se koeficijenti tako sto se krene od najvećeg stepena. Ukoliko ne postoji kostanta za određeni stepen pise se 0 !
KOD:
z = [0.6 0.3 0 0.7];
p = [1 0 0.2 0];
zplane(z,p)

Vazno !
Ovim putem se izvinjavam za greške koje su možda slučajno promakle kao i za stopostotnu ispravnost teksta.
Pedja

Nazad na početak